已知数列 的前 项和为 ， ，且对任意的 均有 ，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（ ）

① 存在实数 ，使得 为等差数列；

② 存在实数 ，使得 为等比数列；

③ 若存在 ，使得 ，则实数 唯一 .

A ． ① B ． ①③ C ． ②③ D ． ①②③

答案

A

【分析】 先求出 ，由此容易判断 ①② ，对于 ③ ，当 为偶数时， ，当 为奇数时， ， 若存在 ，使得 ， 则 ，且 ，由此可分 为奇数和偶数讨论即可判断

【详解】因为 ，

所以 ，则 ，

所以数列 、 为等差数列，且公差为 2 ，

由 ， 得 ，

所以 ，

① 当 时， ，所以 ，所以 为等差数列， ① 对；

② 若存在实数 ，使得 为等比数列，则 ，即 ，

因为方程组无解，所以 不可能为等比数列， ② 错；

③ 当 为偶数时，因为 ， ， ， ，

将上述各式相加，可得 ，

当 为奇数时， ，

若存在 ，使得 ，所以 ，且 ，

当 为偶数时， ，解得 ；

当 为奇数时， ，解得 ，

所以 不唯一， ③ 错．

故选： A