记 为数列 的前 n 项和．已知 ．

(1) 证明： 是等差数列；

(2) 若 成等比数列，求 的最小值．

答案

(1) 证明见解析；

(2) ．

【分析】（ 1 ）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而得证；

（ 2 ）法一：由（ 1 ）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再根据二次函数的性质计算可得．

【详解】（ 1 ）因为 ，即 ① ，

当 时， ② ，

① ② 得， ，

即 ，

即 ，所以 ， 且 ，

所以 是以 为公差的等差数列．

（ 2 ） [ 方法一 ] ：二次函数的性质

由（ 1 ）可得 ， ， ，

又 ， ， 成等比数列，所以 ，

即 ，解得 ，

所以 ，所以 ，

所以，当 或 时， ．

[ 方法二 ] ：【最优解】邻项变号法

由（ 1 ）可得 ， ， ，

又 ， ， 成等比数列，所以 ，

即 ，解得 ，

所以 ，即有 .

则当 或 时， ．

【整体点评】（ 2 ）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表达式；

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．