设函数 的定义域为 .则 “ 在 上严格递增 ” 是 “ 在 上严格递增 ” 的( )条件
A .充分不必要 B .必要不充分
C .充分必要 D .既不充分也不必要
A
【解析】
【分析】
利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项 .
【详解】
若函数 在 上严格递增,对任意的 、 且 , ,
由不等式的性质可得 ,即 ,
所以, 在 上严格递增,
所以, “ 在 上严格递增 ” “ 在 上严格递增 ” ;
若 在 上严格递增,不妨取 ,
则函数 在 上严格递增,但函数 在 上严格递减,
所以, “ 在 上严格递增 ” “ 在 上严格递增 ”.
因此, “ 在 上严格递增 ” 是 “ 在 上严格递增 ” 的充分不必要条件 .
故选: A.
已知定义域为 R 的偶函数满足 ,当 时, ,则方程 在区间 上所有解的和为( )
A . 8 B . 7 C . 6 D . 5
A
【解析】
【分析】
令 ,由已知可得函数 与 的图象在区间 上关于直线 对称,利用对称性即可求解 .
【详解】
解:因为函数 满足 ,所以函数 的图象关于直线 对称,
又函数 为偶函数,所以 ,
所以函数 是周期为 2 的函数,
又 的图象也关于直线 对称,
作出函数 与 在区间 上的图象,如图所示:
由图可知,函数 与 的图象在区间 上有 8 个交点,且关于直线 对称,
所以方程 在区间 上所有解的和为 ,
故选: A.
已知 为 上的奇函数, ,若对 , ,当 时,都有 ,则不等式 的解集为( )
A . B .
C . D .
B
【解析】
【分析】
设 ,由题意得到 为偶函数且在 上单调递减,由 将原不等式转化为 和 ,函数 的单调性解不等式即可 .
【详解】
由 ,得 ,
因为 ,所以 ,
即 ,设 ,
则 在 上单调递减,
而 ,
则 ,解得: ;
因为 为 R 上的奇函数,所以 ,
则 为 R 上的偶函数,故 在 上单调递增,
,
则 ,解得: ;
综上,原不等式的解集为 .
故选: B.
已知函数 ,则下列函数是奇函数的是( )
A . f ( x )+1 B . f ( x ) - 1 C . f ( x +1) D . f ( x - 1)
C
【解析】
【分析】
利用奇函数的性质判断
【详解】
的图象是由 的图象向右平移 1 个单位得出的,因此其图象关于点 对称,只有把 的的图象向左平移 1 个单位,图象才会关于原点对称,
所以只有 ,是奇函数.
故选: C .
已知函数 是定义在 上的偶函数,若对于任意 ,不等式 恒成立,则不等式 的解集为( )
A . B .
C . D .
B
【解析】
【分析】
由题意得到 在 上单调递减,再根据函数 是定义在 上的偶函数,得到 在 上单调递增,且 求解 .
【详解】
解:对于任意 ,不等式 恒成立,
即对于任意 ,不等式 恒成立,
所以 在 上单调递减,
因为函数 是定义在 上的偶函数,
所以 在 上单调递增,且 ,
则 ,解得 ,
故选: B
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