（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；

（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.

【详解】（1）证明：

在正方形中，，

因为平面，平面，

所以平面，

又因为平面，平面平面，

所以，

因为在四棱锥中，底面是正方形，所以

且平面，所以

因为

所以平面；

（2）如图建立空间直角坐标系，

因为，则有，

设，则有，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，所以平面的一个法向量为，则

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，

所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.

【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.

（1）；（2）答案见解析；（3）有.

【解析】

【分析】

（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；

（2）根据表格中数据可得列联表；

（3）计算出，结合临界值表可得结论.

【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，

所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；

（2）由所给数据，可得列联表为：

（3）根据列联表中的数据可得

，

因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.

【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善列联表，考查了独立性检验，属于中档题.

（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式.

（2）通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和.

【详解】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得，所以，所以数列的通项公式为.

（2）由于，所以

对应的区间为：，则；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个.

所以.

【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查分析思考与解决问的能力，属于中档题.

详见解析

【解析】

【分析】

由题意结合所给的条件首先设出a,b的长度，然后结合余弦定理和正弦定理解三角形确定边长c即可.

【详解】选择条件①的解析：

由可得：，

不妨设，

则：，即.

据此可得：，，此时.

选择条件②的解析：

由可得：，

不妨设，

则：，即.

据此可得：，

则：，此时：，则：.

选择条件③的解析：

由可得：，

不妨设，

则：，即.

据此可得，，

与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.

【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

C

【解析】

【分析】

记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.

【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，

则，，，

所以

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.

故选：C.

【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.