(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析.

【解析】

【分析】

(Ⅰ)根据定义验证，即可判断；

(Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；

(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.

解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得成等比数列，之后证得成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.

【详解】(Ⅰ)不具有性质①；

(Ⅱ)具有性质①；

具有性质②；

(Ⅲ)【解法一】

首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：

显然，假设数列中存在负项，设，

第一种情况：若，即，

由①可知：存在，满足，存在，满足，

由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立.

第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：，

另一方面，，由数列单调性可知：，

这与的定义矛盾，假设不成立.

同理可证得数列中的项数恒为负数.

综上可得，数列中的项数同号.

其次，证明：

利用性质②：取，此时，

由数列的单调性可知，

而，故，

此时必有，即，

最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：

假设数列的前项成等比数列，不妨设，

其中，（情况类似）

由①可得：存在整数，满足，且    （*）

由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：，

由可得：    （**）

由（**）和（*）式可得：，

结合数列的单调性有：，

注意到均为整数，故，

代入（**）式，从而.

总上可得，数列的通项公式为：.

即数列为等比数列.

【解法二】假设数列中的项数均为正数：

首先利用性质②：取，此时，

由数列的单调性可知，

而，故，

此时必有，即，

即成等比数列，不妨设，

然后利用性质①：取，则，

即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明，

否则，由数列的单调性可知，

在性质②中，取，则，从而，

与前面类似的可知则存在，满足，

若，则：，与假设矛盾；

若，则：，与假设矛盾；

若，则：，与数列的单调性矛盾；

即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而，

同理可得：，从而数列为等比数列，

同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.

由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.

从而题中的结论得证，数列为等比数列.

【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.

（Ⅰ）；（Ⅱ）1.

【解析】

【分析】

(Ⅰ)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；

(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.

【详解】(1)设椭圆方程为：，由题意可得：

，解得：，

故椭圆方程为：.

(2)设，，直线的方程为：，

与椭圆方程联立可得：，

即：，

则：.

直线MA的方程为：，

令可得：，

同理可得：.

很明显，且：，注意到：

，

而：

，

故.

从而.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

（Ⅰ），（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；

（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.

【详解】（Ⅰ）因为，所以，

设切点为，则，即，所以切点为，

由点斜式可得切线方程：，即.

（Ⅱ）显然，

因为在点处的切线方程为：，

令，得，令，得，

所以，

不妨设时，结果一样，

则，

所以

，

由，得，由，得，

所以在上递减，在上递增，

所以时，取得极小值，

也是最小值为.

【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.

（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为；

（Ⅱ）,（Ⅲ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；

（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；

（Ⅲ）先求，再根据频率估计概率，即得大小.

【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，

该校女生支持方案一的概率为；

（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，

所以3人中恰有2人支持方案一概率为：;

（Ⅲ）

【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；

选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .

【解析】

【分析】

选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得,再根据正弦定理求,最后根据三角形面积公式求结果；

选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求，再根据三角形面积公式求结果.

【详解】选择条件①（Ⅰ）

（Ⅱ）

由正弦定理得：

选择条件②（Ⅰ）

由正弦定理得：

（Ⅱ）

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.