2018年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷理（六）
高中
整体难度：中等
2018-04-30
题号
一
二
三
四
五
评分
一、解答题 (共7题)
添加该题型下试题
1.
已知
，
，
，函数
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）当
的最小值为
时，求
的值，并求
的最小值．
难度：
知识点：不等式
使用次数：126
【答案】
【解析】（1）
，
或
或
，
解得
或
．·······5分
（2）
，
．
当且仅当
时取得最小值
2.
在平面直角坐标系
中，已知曲线
与曲线
（
为参数，
）．以坐标原点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出曲线
，
的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知点
是射线
与的公共点，点
是
与
的公共点，当
在区间
上变化时，求
的最大值．
难度：
知识点：坐标系与参数方程
使用次数：103
【答案】
【解析】（1）曲线的极坐标方程为
，即
．
曲线的普通方程为
，即
，所以曲线的极坐标方程为
．·······5分
（2）由（1）知
，
，
，
由
知
，当
，
即
时，有最大值
．·······10分
3.
已知函数
．
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在
，使
成立，求整数
的最小值．
难度：
知识点：导数及其应用
使用次数：82
【答案】
【解析】（1）由题意可知，
，
，·······1分
方程
对应的
，
当
，即
时，当
时，
，
∴在
上单调递减；·······2分
当
时，方程的两根为
，
且
，
此时，在
上
，函数单调递增，
在
，
上
，函数单调递减；·······4分
当
时，
，
，
此时当
，，单调递增，
当
时，，单调递减；
综上：当时，，单调递增，
当时，单调递减；
当时，在上单调递增，
在，上单调递减；
当时，在上单调递减；·······6分
（2）原式等价于
，
即存在，使
成立．
设
，，则
，·······7分
设
，
则
，∴
在
上单调递增．
又
，
，
根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为
，·······9分
则
，且
，即
，
∴
，
由题意可知
，又，
，∴的最小值为5．······12分
4.
给定椭圆
，称圆
为椭圆
的“伴随圆”．已知点
是椭圆
上的点
（1）若过点
的直线与椭圆
有且只有一个公共点，求被椭圆的伴随圆
所截得的弦长：
（2）
，是椭圆上的两点，设
，
是直线
，
的斜率，且满足
，试问：直线
是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由．
难度：
知识点：圆锥曲线与方程
使用次数：153
【答案】
【解析】（1）因为点是椭圆上的点．
，
即椭圆
，·······2分
，
，
伴随圆
，
当直线的斜率不存在时：显然不满足与椭圆有且只有一个公共点，·······3分
当直接的斜率存在时：将直线
与椭圆
联立，
得
，
由直线与椭圆有且只有一个公共点得
，
解得
，由对称性取直线
即
，
圆心到直线的距离为
，
直线被椭圆的伴随圆所截得的弦长
，·······6分
（2）设直线，的方程分别为
，
，
设点
，
，
联立得
，
则
得
同理
，·······8分
斜率
，·······9分
同理
，因为，·······10分
所以
，
，
，三点共线，即直线过定点
．·······12分
5.
如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
．
（1）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（2）若动点
在底面
边界及内部，二面角
的余弦值为
，求
的最小值．
难度：
知识点：点 直线 平面之间的位置
使用次数：170
【答案】
【解析】（1）取中点，
，
，
，
．
平面平面，平面
平面
，
平面
，
．
以为坐标原点，
、
、
分别为
、
、
轴建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
，·······2分
设平面的法向量
，由
，
得方程组
，取
，·······4分
∴
．·······5分
∴直线与平面所成角的正弦值为
．·······6分
（2）由题意平面的法向量
，
设平面
的法向量为
，
，
∵
，
，
，
，
∴
，取
，·······9分
∴
．∴
，∴
或
（舍去）．
∴点到
的最小值为垂直距离
．·······12分
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试题总数：
23
总体难度：
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
14
60.86%
容易
9
39.13%
题型统计
大题类型
数量
占比
解答题
7
30.43%
填空题
4
17.39%
选择题
12
52.17%
知识点统计
知识点
数量
占比
不等式
2
8.69%
坐标系与参数方程
1
4.34%
导数及其应用
2
8.69%
圆锥曲线与方程
2
8.69%
点 直线 平面之间的位置
1
4.34%
概率
1
4.34%
解三角形
1
4.34%
圆与方程
1
4.34%
三角函数
1
4.34%
数系的扩充与复数的引入
2
8.69%
基本初等函数I
2
8.69%
空间几何体
2
8.69%
数列
1
4.34%
平面向量
2
8.69%
三角恒等变换
1
4.34%
集合与函数的概念
1
4.34%
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