相同正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为 1 的正方体中，重合的底面与正方体某面平行，各顶点均在正方体表面上 ( 如图 ) ，该八面体体积的可能值有（    ）

A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ．无数个

答案

D

【分析】

分析题意可知，正四棱锥的高为定值，底面 各顶点在截面正方形 的各边上移动，表示出底面 的面积即可判断 .

【详解】

设正四棱锥的底面 与正方体的截面四边形为 , 显然 为正方形且边长为 1 ，如图：

设 ，则 ，由平面几何知识可知 ，所以 ，故 由题意可知正四棱锥的高为 ，故八面体体积为 ，有无数个 .

故选 D

【点睛】

本题主要考查八面体的内接问题，考查空间想象能力及运算求解能力，属于中档题 .