已知 中,点 D 在边 BC 上, .当 取得最小值时, .
/
【分析】设 ,利用余弦定理表示出 后,结合基本不等式即可得解 .
【详解】 [ 方法一 ] :余弦定理
设 ,
则在 中, ,
在 中, ,
所以
,
当且仅当 即 时,等号成立,
所以当 取最小值时, .
故答案为: .
[ 方法二 ] :建系法
令 BD=t ,以 D 为原点, OC 为 x 轴,建立平面直角坐标系 .
则 C ( 2t,0 ), A ( 1 , ), B ( -t,0 )
[ 方法三 ] :余弦定理
设 BD=x,CD=2x. 由余弦定理得
, ,
, ,
令 ,则 ,
,
,
当且仅当 ,即 时等号成立 .
[ 方法四 ] :判别式法
设 ,则
在 中, ,
在 中, ,
所以 ,记 ,
则
由方程有解得:
即 ,解得:
所以 ,此时
所以当 取最小值时, ,即 .
若 .则 ( )
A . B . C . D .
D
【分析】根据复数代数形式的运算法则,共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.
【详解】因为 ,所以 ,所以 .
故选: D.
甲、乙两城之间的长途客车均由 A 和 B 两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的 500 个班次,得到下面列联表:
| 准点班次数 | 未准点班次数 |
A | 240 | 20 |
B | 210 | 30 |
(1) 根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;
(2) 能否有 90% 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?
附: ,
| 0.100 | 0.050 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
(1) A , B 两家公司长途客车准点的概率分别为 ,
(2) 有
【分析】( 1 )根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果;
( 2 )根据表格中数据及公式计算 ,再利用临界值表比较即可得结论 .
【详解】( 1 )根据表中数据, A 共有班次 260 次,准点班次有 240 次,
设 A 家公司长途客车准点事件为 M ,
则 ;
B 共有班次 240 次,准点班次有 210 次,
设 B 家公司长途客车准点事件为 N ,
则 .
A 家公司长途客车准点的概率为 ;
B 家公司长途客车准点的概率为 .
( 2 )列联表
| 准点班次数 | 未准点班次数 | 合计 |
A | 240 | 20 | 260 |
B | 210 | 30 | 240 |
合计 | 450 | 50 | 500 |
= ,
根据临界值表可知,有 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关 .
从分别写有 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张,则抽到的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数的概率为( )
A . B . C . D .
C
【分析】方法一:先列举出所有情况,再从中挑出数字之积是 4 的倍数的情况,由古典概型求概率即可 .
【详解】 [ 方法一 ] :【最优解】无序
从 6 张卡片中无放回抽取 2 张,共有 15 种情况,其中数字之积为 4 的倍数的有 6 种情况,故概率为 .
[ 方法二 ] :有序
从 6 张卡片中无放回抽取 2 张,共有 ,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30 种情况,
其中数字之积为 4 的倍数有 (1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12 种情况,故概率为 .
故选: C.
【整体点评】方法一:将抽出的卡片看成一个组合,再利用古典概型的概率公式解出,是该题的最优解;
方法二:将抽出的卡片看成一个排列,再利用古典概型的概率公式解出;
当 时,函数 取得最大值 ,则 ( )
A . B . C . D . 1
B
【分析】根据题意可知 , 即可解得 ,再根据 即可解出.
【详解】因为函数 定义域为 ,所以依题可知, , ,而 ,所以 ,即 ,所以 ,因此函数 在 上递增,在 上递减, 时取最大值,满足题意,即有 .
故选: B.
已知椭圆 的离心率为 , 分别为 C 的左、右顶点, B 为 C 的上顶点.若 ,则 C 的方程为( )
A . B . C . D .
B
【分析】根据离心率及 ,解得关于 的等量关系式,即可得解 .
【详解】解:因为离心率 ,解得 , ,
分别为 C 的左右顶点,则 ,
B 为上顶点,所以 .
所以 ,因为
所以 ,将 代入,解得 ,
故椭圆的方程为 .
故选: B.
甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为 ,侧面积分别为 和 ,体积分别为 和 .若 ,则 ( )
A . B . C . D .
C
【分析】设母线长为 ,甲圆锥底面半径为 ,乙圆锥底面圆半径为 ,根据圆锥的侧面积公式可得 ,再结合圆心角之和可将 分别用 表示,再利用勾股定理分别求出两圆锥的高,再根据圆锥的体积公式即可得解 .
【详解】解:设母线长为 ,甲圆锥底面半径为 ,乙圆锥底面圆半径为 ,
则 ,
所以 ,
又 ,
则 ,
所以 ,
所以甲圆锥的高 ,
乙圆锥的高 ,
所以 .
故选: C.
记 为数列 的前 n 项和.已知 .
(1) 证明: 是等差数列;
(2) 若 成等比数列,求 的最小值.
(1) 证明见解析;
(2) .
【分析】( 1 )依题意可得 ,根据 ,作差即可得到 ,从而得证;
( 2 )法一:由( 1 )及等比中项的性质求出 ,即可得到 的通项公式与前 项和,再根据二次函数的性质计算可得.
【详解】( 1 )因为 ,即 ① ,
当 时, ② ,
① ② 得, ,
即 ,
即 ,所以 , 且 ,
所以 是以 为公差的等差数列.
( 2 ) [ 方法一 ] :二次函数的性质
由( 1 )可得 , , ,
又 , , 成等比数列,所以 ,
即 ,解得 ,
所以 ,所以 ,
所以,当 或 时, .
[ 方法二 ] :【最优解】邻项变号法
由( 1 )可得 , , ,
又 , , 成等比数列,所以 ,
即 ,解得 ,
所以 ,即有 .
则当 或 时, .
【整体点评】( 2 )法一:根据二次函数的性质求出 的最小值,适用于可以求出 的表达式;
法二:根据邻项变号法求最值,计算量小,是该题的最优解.
在长方体 中,已知 与平面 和平面 所成的角均为 ,则( )
A . B . AB 与平面 所成的角为
C . D . 与平面 所成的角为
D
【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.
【详解】如图所示:
不妨设 ,依题以及长方体的结构特征可知, 与平面 所成角为 , 与平面 所成角为 ,所以 ,即 , ,解得 .
对于 A , , , , A 错误;
对于 B ,过 作 于 ,易知 平面 ,所以 与平面 所成角为 ,因为 ,所以 , B 错误;
对于 C , , , , C 错误;
对于 D , 与平面 所成角为 , ,而 ,所以 . D 正确.
故选: D .
小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面 是边长为 8 (单位: )的正方形, 均为正三角形,且它们所在的平面都与平面 垂直.
(1) 证明: 平面 ;
(2) 求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
(1) 证明见解析;
(2) .
【分析】( 1 )分别取 的中点 ,连接 ,由平面知识可知 , ,依题从而可证 平面 , 平面 ,根据线面垂直的性质定理可知 ,即可知四边形 为平行四边形,于是 ,最后根据线面平行的判定定理即可证出;
( 2 )再分别取 中点 ,由( 1 )知,该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积的 倍,即可解出.
【详解】( 1 )如图所示:
分别取 的中点 ,连接 ,因为 为全等的正三角形,所以 , ,又平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ,所以 平面 ,同理可得 平面 ,根据线面垂直的性质定理可知 ,而 ,所以四边形 为平行四边形,所以 ,又 平面 , 平面 ,所以 平面 .
( 2 ) [ 方法一 ] :分割法一
如图所示:
分别取 中点 ,由( 1 )知, 且 ,同理有, , , ,由平面知识可知, , , ,所以该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积的 倍.
因为 , ,点 到平面 的距离即为点 到直线 的距离 , ,所以该几何体的体积
.
[ 方法二 ] :分割法二
如图所示:
连接 AC,BD, 交于 O ,连接 OE,OF,OG,OH. 则该几何体的体积等于四棱锥 O-EFGH 的体积加上三棱锥 A-OEH 的 倍 , 再加上三棱锥 E-OAB 的四倍.容易求得, OE=OF=OG=OH=8, 取 EH 的中点 P ,连接 AP,OP. 则 EH 垂直平面 APO. 由图可知,三角形 APO, 四棱锥 O-EFGH 与三棱锥 E-OAB 的高均为 EM 的长 . 所以该几何体的体积
某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取 10 位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
则( )
A .讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B .讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C .讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D .讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
B
【分析】由图表信息,结合中位数、平均数、标准差、极差的概念,逐项判断即可得解 .
【详解】讲座前中位数为 , 所以 错;
讲座后问卷答题的正确率只有一个是 个 , 剩下全部大于等于 , 所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 , 所以 B 对;
讲座前问卷答题的正确率更加分散 , 所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差 , 所以 C 错;
讲座后问卷答题的正确率的极差为 ,
讲座前问卷答题的正确率的极差为 , 所以 错 .
故选 :B.
函数 在区间 的图象大致为( )
A . B .
C . D .
A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解 .
【详解】令 ,
则 ,
所以 为奇函数,排除 BD ;
又当 时, ,所以 ,排除 C.
故选: A.
设点 M 在直线 上,点 和 均在 上,则 的方程为 .
【分析】设出点 M 的坐标,利用 和 均在 上,求得圆心及半径,即可得圆的方程 .
【详解】 [ 方法一 ] :三点共圆
∵ 点 M 在直线 上,
∴ 设点 M 为 ,又因为点 和 均在 上,
∴ 点 M 到两点的距离相等且为半径 R ,
∴ ,
,解得 ,
∴ , ,
的方程为 .
故答案为:
[ 方法二 ] :圆的几何性质
由题可知, M 是以( 3 , 0 )和( 0 , 1 )为端点的线段垂直平分线 y=3x-4 与直线 的交点 (1,-1) . , 的方程为 .
故答案为:
已知函数 ,曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线.
(1) 若 ,求 a ;
(2) 求 a 的取值范围.
(1)3
(2)
【分析】( 1 )先由 上的切点求出切线方程,设出 上的切点坐标,由斜率求出切点坐标,再由函数值求出 即可;
( 2 )设出 上的切点坐标,分别由 和 及切点表示出切线方程,由切线重合表示出 ,构造函数,求导求出函数值域,即可求得 的取值范围 .
【详解】( 1 )由题意知, , , ,则 在点 处的切线方程为 ,
即 ,设该切线与 切于点 , ,则 ,解得 ,则 ,解得 ;
( 2 ) ,则 在点 处的切线方程为 ,整理得 ,
设该切线与 切于点 , ,则 ,则切线方程为 ,整理得 ,
则 ,整理得 ,
令 ,则 ,令 ,解得 或 ,
令 ,解得 或 ,则 变化时, 的变化情况如下表:
| | | | 0 | | 1 | |
| | 0 | | 0 | | 0 | |
| | | | | | | |
则 的值域为 ,故 的取值范围为 .
已知 a , b , c 均为正数,且 ,证明:
(1) ;
(2) 若 ,则 .
(1) 见解析
(2) 见解析
【分析】( 1 )方法一:根据 ,利用柯西不等式即可得证;
( 2 )由( 1 )结合已知可得 ,即可得到 ,再根据权方和不等式即可得证 .
【详解】( 1 ) [ 方法一 ] :【最优解】柯西不等式
由柯西不等式有 ,
所以 ,当且仅当 时,取等号,所以 .
[ 方法二 ] :基本不等式
由 , , , ,
当且仅当 时,取等号,所以 .
( 2 )证明:因为 , , , ,由( 1 )得 ,
即 ,所以 ,
由权方和不等式知 ,
当且仅当 ,即 , 时取等号,
所以 .
【点睛】( 1 )方法一:利用柯西不等式证明,简洁高效,是该题的最优解;
方法二:对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学,采用基本不等式累加,也是不错的方法.
已知 ,则( )
A . B . C . D .
A
【分析】法一:根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ,再利用基本不等式,换底公式可得 , ,然后由指数函数的单调性即可解出.
【详解】 [方法一]:(指对数函数性质)
由 可得 ,而 ,所以 ,即 ,所以 .
又 ,所以 ,即 ,
所以 . 综上, .
[方法二]:【最优解】(构造函数)
由 ,可得 .
根据 的形式构造函数 ,则 ,
令 ,解得 ,由 知 .
在 上单调递增,所以 ,即 ,
又因为 ,所以 .
故选: A.
【点评】法一:通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较,方法直接常用,属于通性通法;
法二:利用 的形式构造函数 ,根据函数的单调性得出大小关系,简单明了,是该题的最优解.
已知向量 .若 ,则 .
/
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可 .
【详解】由题意知: ,解得 .
故答案为: .
将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 C ,若 C 关于 y 轴对称,则 的最小值是( )
A . B . C . D .
C
【分析】先由平移求出曲线 的解析式,再结合对称性得 ,即可求出 的最小值 .
【详解】由题意知:曲线 为 ,又 关于 轴对称,则 ,
解得 ,又 ,故当 时, 的最小值为 .
故选: C.
记双曲线 的离心率为 e ,写出满足条件 “ 直线 与 C 无公共点 ” 的 e 的一个值 .
2 (满足 皆可)
【分析】根据题干信息,只需双曲线渐近线 中 即可求得满足要求的 e 值 .
【详解】解: ,所以 C 的渐近线方程为 ,
结合渐近线的特点,只需 ,即 ,
可满足条件 “ 直线 与 C 无公共点 ”
所以 ,
又因为 ,所以 ,
故答案为: 2 (满足 皆可)
如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为 1 ,则该多面体的体积为( )
A . 8 B . 12 C . 16 D . 20
B
【分析】由三视图还原几何体,再由棱柱的体积公式即可得解 .
【详解】由三视图还原几何体,如图,
则该直四棱柱的体积 .
故选: B.
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